Operasi Aljabar: Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian

Operasi Aljabar – Muhammad bin Musa al-Khawarizmi biasa disebut Al-Khawaritzmi adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi.

eliau lahir sekitar tahun 780 Masehi di Khwarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 Masehi di Baghdad Irak.

Selama hidupnya, Al-Khawarizmi bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad, yang didirikan oleh  Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma’mun, tempat beliau belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.

Kontribusi Al-Khawarizmi tidak hanya berdampak pada matematika saja, tetapi juga dalam kebahasaan. Kata algoritma diambil dari kata Algorismi, pelatinan dari nama Al-Khawarizmi.

Nama Al-Khawarizmi juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit. Di Inggris menggunakan istilah algoritm, sedangkan di Spanyol guarismo, dan algarismo di Portugal.

Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau yang berjudul “al- Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala” atau “Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan” yang ditulis pada tahun 820 Masehi.

Buku pertama Al-Khawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerardus dari Cremona pada abad ke-12.

Karena pengaruhnya yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Al-Khawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini.

Tauladan yang bisa diambil dari seorang Al Khawarizmi antara lain:

1. Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi tentang ilmu pengetahuan, sehingga bisa menemukan karya-karya yang dikenal dan bermanfaat bagi banyak orang.
2. Masalah yang rumit bisa diselesaikan asalkan kita mau berusahan dengan sungguh-sungguh. Seperti Al Khawarizmi yang memecahkan masalah aljabar dengan menyederhanakannya.

Operasi Hitung Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

3a + 5b + 3c + 2a + 7c – 3b

3a + 5b + 3c + 2a + 7c – 3b = (3a + 2a) + (5b – 3b) + (3c + 7c)

⇒ 5a + 2b + 10c

Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan suku-suku sejenis dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan dan menyusun ke bawah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

1. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini.

1. 2a + 4b + 3a
2. 3x + 6y + 14x – 8y

1. 2a + 4b + 3a = 2a + 3a + 4b = (2 + 3)a + 4b = 5a + 4b
2. 3x + 6y + 14x – 8y = 3x + 14x + 6y – 8y = (3 + 14)x + (6 – 8)y = 17x – 2y

1. mengelompokkan, dan
2. menyusun ke bawah.

• Cara mengelompokkan

⇒ (3a + 5b + 7c) + (4b + 5a + 3c)

⇒ (3a + 5a) + (5b + 4b) + (7c + 3c)

⇒ (3 + 5) a + (5 + 4) b + (7 + 3)c

⇒ 8a + 9b + 10c

• Cara menyusun ke bawah

1. mengelompokkan, dan
2. menyusun ke bawah.

• Cara mengelompokkan

⇒ (2a + 5b – 3c) – (a + 3b + 2c)

⇒ 2a + 5b – 3c – a – 3b – 2c

⇒ (2a – a) + (5b – 3b) + (–3c – 2c)

⇒ (2 – 1) a + (5 – 3) b + (–3 – 2) c

⇒ a + 2b + (–5) c

⇒ a + 2b – 5c

• Cara menyusun ke bawah

1. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

Contoh:

a. 4(p + q)

b. 5(ax + by)

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)

d. -8(2x – y + 3z)

a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6

= 3x + 42x – 6 + 6

= (3 + 42)x + 0

= 45x

d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y – 24z

2. Perkalian antara dua bentuk aljabar

• 
• Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut ini:
  (ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

  = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

  = acx2 + adx + bcx + bd

  = acx2 + (ad + bc)x + bd

  Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut:
• 

• = ax × cx2 + ax × dx + ax × e + b × cx2 + b × dx + b × e

  = acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be

  = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

  Contoh:

  Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.
  1. (2x + 3)(3x – 2)
  2. (–4a + b)(4a + 2b)
  3. (2x – 1)(x2– 2x + 4)
  4. (x + 2)(x – 2)
  Penyelesaian:
  1. (2x + 3)(3x – 2) kita selesaian dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.
  • Cara (1) dengan sifat distributif
  (2x + 3)(3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)

  = 6x2– 4x + 9x – 6

  = 6x2 + 5x – 6

  • Cara (2) dengan skema
• 

= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)

= 6x2– 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

• Cara (1) dengan sifat distributif

= –16a2– 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2– 4ab + 2b2

• Cara (2) dengan skema

= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b

= –16a2– 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2– 4ab + 2b2

• Cara (1) dengan sifat distributif

= 2x3– 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3– 4x2– x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3– 5x2 + 10x – 4

• Cara (2) dengan skema

= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x2 + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4

= 2x3– 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3– 4x2– x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3– 5x2 + 10x – 4

• Cara (1) dengan sifat distributif

= x2– 2x + 2x – 4

= x2– 4

• Cara (2) dengan skema

= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)

= x2– 2x + 2x – 4

= x2– 4

Operasi Hitung Pembagian Bentuk Aljabar

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Pembagian Bentuk Aljabar

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut ini.

1. 3xy : 2y
2. 6a3b2 : 3a2b
3. x3y : ( x2y2 : xy)
4. (24p2q + 18pq2) : 3pq

Penyelesaian:

Operasi Hitung Perpangkatan Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali materi tentang operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai bentuk perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku sebagai berikut.

Contoh Perpangkatan Bentuk Aljabar

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.

1. (2p)2
2. –(3x2yz3)3
3. (–3p2q)2

Penyelesaian:

1. (2p)2 = (2p) × (2p) = 4p2
2. –(3x2yz3)3 = –27x6y3z9
3. (–3p2q)2 = 9p4q2

Contoh Soal 2:

1. (2a)2
2. (3xy)3
3. (–2ab)4
4. (4a2b2)2
5. –3(x2y)3
6. –(2pq)4
7. 1/2(2xy)2
8. a(ab2)3

Penyelesaian:

1. (2a)2 = 4a2
2. (3xy)3 = 9x3y3
3. (–2ab)4 = 16a4b4
4. (4a2b2)2 = 16a4b4
5. –3(x2y)3 = -3(x5y3) = -3x5y3
6. –(2pq)4 = -(16p4q4) = -16p4q4
7. 1/2(2xy)2 = 1/2(4x2y2) = 2x2y2
8. a(ab2)3 = a(a3b5) = a4b5

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.

(a + b)1 = a + b → koefisiennya 1  1

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

= a2 + ab + ab+ b2

= a2 + ab + ab+ b2= a2 + 2ab+ b2 → koefisiennya 1  2  1

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 → koefisiennya 1  3  3  1

dan seterusnya.

Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

Sekarang perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal 3:

Jabarkan bentuk aljabar berikut.

• (3x + 5)2
• (2x – 3y)2
• (x + 3 y)3
• (a – 4)4

Penyelesaian:

a. (3x + 5)2 = 1(3x)2(5)0 + 2(3x)1(5)1 + 1(3x)0(5)2

= 1(9x2)(1) + 2(3x)(5) + 1(1)(25)= 9x2 + 30x + 25

b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2(-3y)0 + 2(2x)1(–3y)1 + 1(2x)0(–3y)2

= 1(4x2)(1) + 2(2x)(–3y) + 1(1)(9y2)= 4x2 – 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3 = 1(x)3(3y)0 + 3(x)2(3y)1 + 3(x)1(3y)2 + 1(x)0(3y)3

= 1(x3)(1) + 3(x2)(3y) + 3(x)(9y2) + 1(1)(27y3)= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

d. (a – 4)4 = 1(a)4(-4)0 + 4(a)3(-4)1 + 6(a)2(-4)2 + 4(a)1(-4)3 + 1(a)0(-4)4

= 1(a4)(1) + 4(a3)(-4) + 6(a2)(16) + 4(a)(-64) + 1(1)(256)= a4− 16a3 + 96a2− 256a + 256